$ f(x) = x $

$ g(x) = x^2 + 1 $ Además, nos imponen los límites de integración \( x = 0 \) y \( x = 3 \). 1) Buscamos los puntos de intersección entre \( f \) y \( g \) Igualamos las funciones para encontrar los puntos de intersección:

$ x = x^2 + 1 $ $ x^2 - x + 1 = 0 $

Si resolvemos esta cuadrática con la fórmula resolvente vemos que no tiene solución en reales (nunca vale cero). Por lo tanto, las funciones no se intersectan en el intervalo que estamos considerando y nos tenemos que fijar quién es techo y quién es piso en \( [0, 3] \).

2) Techo y piso En el intervalo \( [0, 3] \), deberías llegar a que \( g(x) \) es el techo y \( f(x) \) es el piso. 3) Planteamos la integral del área $ A = \int_{0}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{3} (x^2 + 1 - x) \, dx $ 4) Calculamos la integral $ \int (x^2 - x + 1) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right) \Bigg|_{0}^{3} = \frac{15}{2}$ Por lo tanto, el área encerrada es $\frac{15}{2}$