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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 10: Aplicaciones de la Integral

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1. Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de las siguientes curvas:
b) f(x)=x,g(x)=x2+1,x=0,x=3f(x)=x, g(x)=x^{2}+1, x=0, x=3

Respuesta

En este problema tenemos dos funciones involucradas:
f(x)=x f(x) = x
g(x)=x2+1 g(x) = x^2 + 1 Además, nos imponen los límites de integración x=0 x = 0 y x=3 x = 3 . 1) Buscamos los puntos de intersección entre f f y g g Igualamos las funciones para encontrar los puntos de intersección:
x=x2+1 x = x^2 + 1 x2−x+1=0 x^2 - x + 1 = 0

Si resolvemos esta cuadrática con la fórmula resolvente vemos que no tiene solución en reales (nunca vale cero). Por lo tanto, las funciones no se intersectan en el intervalo que estamos considerando y nos tenemos que fijar quién es techo y quién es piso en [0,3] [0, 3] .
2) Techo y piso En el intervalo [0,3] [0, 3] , deberías llegar a que g(x) g(x) es el techo y f(x) f(x) es el piso. 3) Planteamos la integral del área A=∫03(g(x)−f(x)) dx=∫03(x2+1−x) dx A = \int_{0}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{3} (x^2 + 1 - x) \, dx 4) Calculamos la integral ∫(x2−x+1) dx=(x33−x22+x)∣03=152 \int (x^2 - x + 1) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right) \Bigg|_{0}^{3} = \frac{15}{2} Por lo tanto, el área encerrada es 152\frac{15}{2}
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